Hoje iremos aprender um conteúdo de ensino superior, mais especificamente de álgebra linear. Iremos aprender como escalonar matrizes.
Saber escalonar matrizes é muito importante para obter informações sobre transformações lineares, por exemplo como calcular o espaço nulo e o conjunto imagem. Além disso, é possível resolver sistemas lineares através de escalonamento.
Para escalonar uma matriz, três operações básica são permitidas:
- Multiplicar cada termo de uma linha por um mesmo número;
- Trocar duas linhas de lugar;
- Somar ou diminuir uma linha por um múltiplo de outra linha (por múltiplo, queremos dizer a linha multiplicada por um escalar).
Além disso, precisamos entender também o que é uma posição pivô de uma matriz.
Uma posição pivô é dada por um número que só tem zeros posicionados abaixo e à esquerda. Vejamos um exemplo:
| 0 1 2 |
| 0 0 3 |
| 0 0 4 |
Nessa matriz, o 1 é uma posição pivô, pois à esquerda só tem zeros e abaixo dele também.
Assim, o objetivo de escalonar uma matriz é utilizar as operações permitidas até que cada linha tenha uma posição pivô ou que tenha somente zeros.
Vejamos um exemplo de escalonamento:
OBS: L1 = linha 1, L2 = linha 2, L3 = linha 3.
| 1 2 6 |
| 2 2 4 |
| 3 1 -2 |
Começamos fazendo L2 = L2 - 2.L1, assim | 2 2 4 | vira | 0 -2 -8 |.
Também fazemos L3 = L3 - 3.L1, assim | 3 1 -2 | vira | 0 -5 -20 |.
| 1 2 6 |
| 0 -2 -8 |
| 0 -5 -20 |
Agora, multiplicamos L2 por (-1/2), fazendo | 0 -2 -8 | virar | 0 1 4 |, fazemos isso para facilitar os cálculos.
Também multiplicamos L3 por (-1), fazendo | 0 -5 -20 | virar | 0 5 20 |.
| 1 2 6 |
| 0 1 4 |
| 0 5 20|
Por fim, fazemos L3 = L3 - 5.L2, assim | 0 5 20 | vira | 0 0 0 |.
| 1 2 6 |
| 0 1 4 |
| 0 0 0 |
Essa matriz está na forma escalonada, pois a primeira linha tem um 1 como posição pivô, a segunda linha tem um 1 como posição pivô e a terceira linha tem apenas zeros.
Ficou com alguma dúvida? Então deixe ela nos comentários que a gente responde pra você!
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